地球の質量の求め方。

皆さんは生きていて、ふと「地球の質量ってどれくらいなのかな？」と考える事はありませんか。昔の人も、地球の質量を知りたがりました。なぜなら地球の質量が分かれば地球の密度が分かるからです。地球の密度が分かれば、地球の構成物質を予想することが出来ます。本記事では、この求め方を解説していきます。

求め方の方針

重力と万有引力がほぼ等しくなる事を利用して求めていきます。

地球の質量を求める為にはまず、重力が必要です。重力とは、地球上の質量を持った物体に働く下向きの力の事です。重力は物体の質量に比例します。つまり質量を$ｍ$とすると、

$$F=mg(gは定数)$$

と書けます。

この$g$を重力加速度と言います。重力加速度は約9.8$m^2/t$です。つまり、地球上で物を落とすと1秒後に9.8 $m/t$ の速さに、2秒後には19.6 $m/t$ 、3秒後には29.4 $m/t$ になるという事です。(空気抵抗がない場合)

$g=9.8$ は測定で出すことが出来ます。振り子を使った測定方法が有名です。

地球の質量を求める為にもう一つ必要なものは、万有引力です。万有引力とは、質量を持つ2つの物体間に働く引き合う力の事です。万有引力は2つの物体の質量と距離によって決まり、2つの物体の質量を$ｍ$と$Ｍ$、距離を$r$とすると、

$$F=G\frac{Mｍ}{r^2}(Gは万有引力定数)$$

となります。

地球とある物質の万有引力を考えてみましょう。地球の質量を$M$、ある物体の質量を$ｍ$とします。距離は地球の中心から物体の重心までの距離ですが、物体は小さいので地球の半径$R$で良いでしょう。すると地球とある物質の万有引力は、

$$F=G\frac{Mｍ}{R^2}(Gは万有引力定数)$$

と書けます。

$G$は万有引力定数については様々な議論はありますがここでは$G=6.673\times10^{-11}$としておきます。

地球の半径は、測定されていて約$6.4\times10^6$mです。

重力は万有引力と遠心力の合力です。しかし、遠心力が最も大きい赤道上でも、遠心力の大きさは万有引力に対し300分の1でごく小さな値です。よって、重力と万有引力はほぼ等しいと言えます。したがって$F=mg$、$F=G\frac{Mｍ}{R^2}$より、

$$mg=G\frac{Mｍ}{R^2}$$

となります。これを整理すると、

$$M=\frac{gR^2}{G}$$

$g=9.8$、$R=6.4\times10^6$、$G=6.673\times10^{-11}$ という事が測定から分かっています。それらを用いて計算すると、$M=6.0\times10^{24}$という値が求められます。

今回は地球の質量を求めました。ここから地球の姿について分かる事は沢山あります。ともに地球の姿に迫っていきましょう。